Poker et Finance (2) : le principe de Kelly
Le profil de joueur de poker est de plus en plus recherch�� dans les m��tiers de la finance. On a d��j�� vu des banques d'investissement s��lectionner leurs nouveaux traders en organisant des cash-games de Texas Hold'em no-limit. Pourquoi ? car ce sont deux professions qui r��clament peu ou prou les m��mes qualit��s : la capacit�� �� arbitrer risques et profits en faisant appel aux probabilit��s, �� analyser rapidement des situations complexes et �� g��rer prudemment son capital.
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Cette derni��re qualit��, en particulier, est primordiale : un bon trader doit savoir diversifier ses risques et prendre ses pertes au bon moment. Dans notre nouvelle s��rie d'articles strat��giques, nous nous int��resserons donc aux similitudes entre march��s financiers et gestion de bankroll. Le sujet d'aujourd'hui : le "Principe de Kelly".
L'histoire du principe de Kelly
L'une des questions qui se pose continuellement �� tout gestionnaire de capital, c'est de d��terminer le degr�� optimal de diversification de son portefeuille. Les traders arbitrent en permanence entre rendement et risque. Diversifier ses placements diminue naturellement le risque de faillite mais ��galement le rendement potentiel. O�� donc faut-il mettre le curseur ? C'est l�� qu'interviennent les syst��mes th��oriques de gestion de capital comme le "Kelly Criterion" (ou "principe de Kelly" en bon fran?ais).
John Kelly est un ing��nieur des laboratoires d'AT&T, le g��ant am��ricain des t��l��coms. A l'origine, il a d��velopp�� ce principe pour lutter contre les bruits parasites dans les appels �� longue distance. Mais les joueurs de blackjack et les parieurs hippiques ont vite eu vent de ce nouveau syst��me qui leur permettait d'optimiser la gestion de leur bankroll sur le long terme. Aujourd'hui, le principe de Kelly est ��galement utilis�� dans les salles de march��.
Le calcul du pourcentage de Kelly
Il repose sur deux indices :
- le taux de gain (W), qui est la probabilit�� d'effectuer une op��ration gagnante. On l'obtient en divisant le nombre d'op��rations positives par le nombre total d'op��rations. Id��alement, ce chiffre doit ��tre sup��rieur �� 0,5.
- le ratio gain/perte (R), qui correspond �� la somme des gains divis��e par la somme des pertes. On l'obtient en divisant son gain moyen (la moyenne de ses op��rations gagnantes) par sa perte moyenne (la moyenne de ses op��rations perdantes). Id��alement, ce chiffre doit ��tre sup��rieur �� 1.
Le principe de Kelly, exprim�� en pourcentage, se calcule alors de la mani��re suivante :
W �C [(1 �C W) / R]
Il repr��sente le montant des positions que le trader doit prendre pour maximiser le rendement de son portefeuille, exprim�� en pourcentage de la valeur totale de ce m��me portefeuille.
Exemple : un trader passe en revue les 100 derni��res op��rations qu'il a effectu��es. 60 se sont conclues sur un solde positif et 40 sur un solde n��gatif. Les 60 op��rations positives lui ont rapport�� 1.000 en moyenne tandis que les 40 op��rations n��gatives lui ont co?t�� 1.100 en moyenne. Son pourcentage de Kelly est donc ��gal �� 0,6 - [(1-0,6)/0,9] = 0,155. Ainsi, pour que le portefeuille de ce trader soit optimal, chaque nouvelle op��ration devra repr��senter 15,5% du montant total de son portefeuille .
L'inspiration d'un Prix Nobel
La th��orie du portefeuille efficace de Markowitz d��coule tr��s directement des travaux de Kelly. Un portefeuille est dit efficace quand, pour un rendement donn��, aucune diversification suppl��mentaire ne peut plus r��duire le risque encouru. Inversement, aucune hausse du rendement ne peut non plus ��tre obtenue sans accroitre le risque du portefeuille. Ces concepts d'efficacit�� sont �� la base du Capital Asset Pricing Model, pour lequel Markowitz, Sharpe & Miller ont re?u le Prix Nobel d'��conomie en 1990.
Attention ! Le principe de Kelly ne fonctionne que pour des traders qui sont d��j�� gagnants sur le long terme et qui veulent simplement optimiser leurs positions. Il assume donc dans ses hypoth��ses de base que le trader qui l'utilise est capable de maintenir ses performances. En ce sens, il est incapable de palier aux d��faillances d'un mauvais trader ou de pr��dire un crash futur sur le march��.
Kelly adapt�� au poker
Adapt�� au poker avant m��me que de servir dans les salles de march��, le principe de Kelly fonctionne de la m��me mani��re lorsqu'il s'applique �� l'univers du jeu : il n'est sens�� ��tre utilis�� que par des joueurs gagnants sur le long terme. Il n'est donc adapt�� qu'�� une limite donn��e et doit ��tre recalcul�� �� chaque passage de limite, d��s que l'historique des sessions jou��es devient significatif.
Mais au poker tout est plus simple et cette ��quation bizarre W �C [(1 �C W) / R] est l'approximation d'un calcul que tous les joueurs connaissent d��j�� : L'Expected Value. D��s qu'un joueur +EV conna?t avec pr��cision l'��tendue de son "avantage sur l'al��a" �� une limite donn��e, il sait ��galement quel pourcentage de sa bankroll il peut mettre en jeu �� chaque session.
Exemple : Prenons le cas d'un joueur qui estime, apr��s examen attentif de ses 100 derni��res sessions en 1$/2$, que son edge se situe �� 4%. Cela signifie que lorsqu'il investit 200$ �� une table en d��but de session, il ressort en moyenne avec 208$. Selon le principe de Kelly, ce joueur peut investir 4% de sa bankroll dans une seule partie. Ainsi, s'il dispose d'une bankroll de 7.500$, il peut risquer jusqu'�� 300$ �� la table.
Le principe de Kelly est consid��r�� par certains comme une strat��gie de gestion de bankroll trop agressive, notamment en ce qui concerne les tournois, soumis �� une variance sup��rieure �� celle des cash-games.C'est pourquoi de nouveaux modes de calcul ont ��t�� propos��s, bas��s sur un "demi-Kelly" (%EV/2) ou sur un "quart-Kelly" (%EV/4).
Dernier point important dont il convient de se rappeler lorsqu'on veut utiliser le principe de Kelly, c'est qu'il s'agit d'un syst��me dynamique, qui s'exprime en pourcentage de votre bankroll et qui ��volue donc proportionnellement �� cette derni��re. Apr��s une s��rie de mauvaises sessions vous devrez donc r��duire le volume des montants mis��s �� chaque partie.
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